Teorema de los ceros complejos.

Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados.

Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un cero real.

Ejercicios:

Si es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las siguientes afirmaciones es falsa:

a. tiene al menos un cero real.

b. tiene tres ceros.

c. puede tener dos ceros reales y uno complejo

Teorema de los residuos

Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).

EJERCICIOS:

f ( x ) = x² - 8 x + 6. Divida el polinomio entre el binomio x - 2.

División larga

.
El residuo es -6.

Método 2: División sintética

El residuo es -6.
Ahora compare el residuo de -6 en f (2).

si f(x) = x² + x - 2 se divide entre (x-2)

el residuo es f(2) = 2² + (2) - 2 = 4.

Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:

f(x) = (x-2)(x+3) + 4

Hállese el residuo de dividir el polinomio

entre

Solución.

se puede escribir como

, por tanto

O sea que el residuo es 2.

Teorema del Factor.

El teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. $x^2+6x+6$ ). Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio $P(x)$ tiene un factor $(x-k)$ si y sólo si $k$ es una raíz de $P(x)$ , es decir que $P(x)=0$ .

EJERCICIOS:

Sii se desea encontrar los factores de $x^3 + 7x^2 + 8x + 2$ , para ello se podría tantear un primer factor, $(x-a)$ . Si el resultado de sustituir $a$ en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es $(x-1)$ un factor? Para saberlo, se sustituye $x=1$ en el polinomio:

$x^3 + 7x^2 + 8x + 2 = 1^3 + 7 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 + 2 = 1 + 7 + 8 + 2 = 18$

Cómo esta operación da 18 (y no 0), $(x-1)$ no es un factor de $x^3+7x^2+8x+2$ . Así que ahora se prueba con $(x+1)$ (sustituyendo $x=-1$ en el polinomio):

$(-1)^3 + 7 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) + 2$ .

Que da como resultado 0. Por tanto, $x - (-1)$ , que es equivalente a $x+1$ , es un factor, y -1 es una raíz de $x^3 + 7x^2 + 8x + 2$ .
Las otras dos raíces se pueden encontrar dividiendo $x^3+7x^2+8x+2$ entre $(x+1)$ para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de la siguiente manera $\frac{x^3+7x^2+8x+2}{x+1}= x^2 + 6x + 2$
ademas el teorema del factor es muy factible para estos casos

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

(x³− 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

(x⁶ − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3(x⁴− 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x¹⁰ − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor

Use el teorema del factor para probar que

es un factor de

.

Solución.

, así

.

Luego –1 es un cero de

.

Así

es un factor de

DIVISIÓN SINTETICA.

La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio

de grado $n, \, \, \, n \geq 1$ , por un polinomio de la forma $x-\alpha$ , con $\alpha \in I \!\!R$ , a partir de los coeficiente de

y el cero de $x-\alpha$ .

El procedimiento que usaremos para realizar la división sintética de un polinomio

, por un polinomio de la forma $x-\alpha$ , lo ilustraremos a través de ejemplos.

EJERCICIOS :

Sean

polinomios tales que:
$P(x) = 4x^3+3x^2-5x+2; \, \, \, \, Q(x) = x-3$
Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir

por

:
a) Usando el método estudiado anteriormente (División larga)
b) Usando división sintética

Solución:

a)

Por lo que al dividir

por

se obtiene

como cociente y 122 como residuo.

b) Usando división sintética,

se divide por

de la siguiente manera:

Donde los números 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente y 122 el residuo de la división. Observe que, según la parte (a) de este ejercicio, los números obtenidos en la tercera fila son los coeficientes del cociente y el residuo, como se muestra en el esquema anterior. Los números representados en la primera fila son los coeficientes de

(dividendo) y el cero de

(divisor).

Los números representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma:

12 es el producto de 4 y 3

45 es el producto de 15 y 3

120 es el producto de 40 y 3 Los números representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma:

4 es el coeficiente de

15 es la suma de 3 y 12

40 es la suma de -5 y 45

122 es la suma de 2 y 120

Donde -108 es el residuo

Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coheficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coheficientes nesesarios para todos los exponentes.

el polinomio x⁴ - 11x³ + 26x² + 44x - 120 entre el polinomio x + 2.

Los coeficientes del polinomio son [1 -11 26 44 120] y a = −2 porque x + 2 = x − (−2) = x − a. La división sintética queda así:

Cociente: x³ - 13x² + 52x - 60.
Residuo: 0.
la división es exacta, por eso el residuo es cero.

Dividir el polinomio x³ + 1 entre el polinomio x − 1.

Los coeficientes del polinomio son [1 0 0 1] (observar como se insertan ceros en las posiciones de los términos con x² y x) y a = 1. La división sintética queda así:

Cociente: x² + x + 1.
Residuo: 2.

el polinomio 2x⁴ - 3x³ - 15x² - 10x + 6 entre el polinomio x - 3.

. El último número es el residuo y los números anteriores son los coeficientes del cociente de orden n - 1.

Cociente: 2x³ + 3x² - 6x - 28.
Residuo: - 78.

2x⁴ - 3x³ - 15x² - 10x + 6 = (x - 3) (2x³ + 3x² - 6x - 28) - 78

Teorema de la Factorización Líneal.

Cualquier polinomio cuyo grado n esté definido tendrá exactamente n factores lineales

Prueba del cero racional

En álgebra, el teorema de la raíz racional o la prueba de la raíz racional indica una restricción en las soluciones racionales (o raíces) de la ecuación polinómica con coeficientes enteros:

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0\,\!$

Si a₀ y a_n son diferentes de cero, entonces cada solución racional x, cuando está escrita como fracción x = p/q en sus términos más bajos (es decir, el máximo común divisor de p y q es 1), satisface

p es un factor del término constante a₀, y
q es un factor del coeficiente del término a_n.

Así, una lista de las posibles raíces racionales de la ecuación se puede derivar usando la fórmula $x = \pm \frac{p}{q}$

EJERCICIOS:

y = 0

Entonces:

x³ - 31x² + 30 = 0 ← Acá factorizamos como producto de Binomio por Trinomio:

(x - 1)(x² - 30x - 30) = 0 ← Igualando a cero cada factor, se tienen las raíces de "x":

x - 1 = 0 ======> x₁= 1

x² - 30x - 30 = 0 ← Acá aplicamos la fórmula cuadrática:

…………... ______

….... -b + √b² - 4ac

x₂= ------------------ ====> Con a= 1 .... b= -30 .... c= -30

…………. 2a

……………..... ______________

……. -(-30) + √[-30]² - 4*1*(-30)

x₂= ------------------------------------ =

……………….... 2*1

………….... ________ ............. ____

……. 30 + √900 + 120 ... 30 + √1020

x₂= ----------------------- = ---------------- =

…………….. 2 ....................... 2

….... 30 + 31,937439 .... 61,937439

x₂= ---------------------- = --------------- =

…………..... 2 ...................... 2

x₂≈ 30,96872

….... 30 - 31,937439 ... -1,937439

x₃= --------------------- = -------------- =

.................. 2 ...................... 2

x₃≈ -0,96872

Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de

, escríbase

como un producto de factores lineales.

Solución.

Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que,

Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de

que son

Así,

escrito como el producto de factores lineales es,

Teorema Fundamental del Álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo $p$ de grado $n>0$ , la ecuación $p(z) = 0$ tiene exactamente $n$ soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma $(x-c_i)\,$ .

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera:

Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).

Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.

EJERCICIOS:

Encontrar la solución de la siguiente ecuación: y=2x+1

Para poder encontrar las soluciones reales, debemos cruzar esa recta con el eje x, esto implica hacer y=0:

Para este caso en concreto, vemos que esta ecuación, solo tiene una única solución, -1/2

Según el teorema, si el grado es impar, tenemos al menos una raíz real.

Para entenderlo, vamos a reescribirlo de esta manera:

Un polinomio de grado n impar admite al menos una raíz real. Si existe una raíz compleja de un polinomio, entonces existe su raíz compleja conjugada

En el ejemplo anterior, era una ecuación de grado uno (mirad el exponente de las x), por lo que el número mínimo de raíces va a ser 1. Lo cual no quiere decir que tenga que haber solamente una raíz, puede haber más, pero siempre será ese mínimo

MATEMATICAS 4°

martes, 2 de abril de 2013

Bloque 5