Función racional
donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.
Propiedades
- Toda función racional es de clase
en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
- Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).
Integración de funciones racionales
Dada una función racional:
Si el denominador es un polinómico mónico

Si

Por lo que la integral de la función


Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la intergración.
Asintontas.
Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).
Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.
Se distinguen tres tipos:
- Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = cte.
- Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = cte.
- Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.
EJERCICIOS:
Dejar

El dominio de f es el
conjunto de todos los números reales, excepto 3, desde el 3 de cero hace que el
denominador y la división por cero no está permitido en las matemáticas.
Sin embargo, podemos
tratar de averiguar cómo la gráfica de f se comporta cerca de
3.
Vamos a evaluar la
función f en los valores de x cerca de 3 tal que x <3. Los valores se muestran en la tabla
siguiente:
x | 1 | 2 | 2,5 | 2,8 | 2,9 | 2,99 | 2,999 | 2,99999 |
f (x) | -1 | -2 | -4 | -10 | -20 | -200 | -2000 | -2 * 10 5 |
x | 5 | 4 | 3,5 | 3,2 | 3,1 | 3,01 | 3,001 | 3,00001 |
f (x) | 1 | 2. | 4 | 10 | 20 | 200 | 2000 | 2 * 10 5 |


Horizontal
asíntotas
Dejar

1 - Sea x aumento y
encontrar los valores de f (x).
x | 1 | 10 | 10 3 | 10 6 |
f (x) | 3 | 2.1 | 2,001 | 2,000001 |
2 - Sea x disminución y
encontrar los valores de f (x).
x | -1 | -10 | -10 3 | -10 6 |
f (x) | 1 | 1,9 | 1,999 | 1,999999 |

Sea f una función racional definida por

a - Encontrar el dominio
de f.
Encuentra la x , y
intercepta de la gráfica de f.
c - Encuentre las
asíntotas vertical y horizontal para la gráfica de f si los
hay.
d - Utiliza tus
respuestas a las partes a, b y c por encima de para trazar la gráfica de la
función f.
Respuesta a la
Ejemplo 1
a - El dominio de f es
el conjunto de todos los números reales excepto x = 1, ya que este valor de x
cero hace que el denominador.
b - La x intercepte se
encuentra por la solución de f (x) = 0 ó x +1 = 0. x La intersección está en el punto (-1,
0).
La intersección está en
el punto (0, f (0)) = (0, -1).
c - La asíntota vertical
está dada por el cero en el denominador x = 1.
El grado del numerador
es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el teorema anterior, la
asíntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1
e - Aunque las partes a,
b y c dan información importante sobre la gráfica de f, todavía tenemos que
construir una tabla de señal para la función f con el fin de ser capaz de
dibujar con facilidad.
El signo de f (x) los
cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la tabla de signo, se procede como en
la solución de las desigualdades racionales. Los ceros del numerador y el denominador que son -1
y 1 divide la línea número real en 3 intervalos:
(- Infinito, -1), (-1,
1), (1, + infinito).
Hemos seleccionado un
valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f
(x).
En (- infinito, -1), -2
seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3>
0.
En (-1, 1), 0
seleccionar y encontrar f (0) = -1 <0.
En (1, + infinito), 2
seleccionar y encontrar f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3>
0.
Vamos a poner toda la
información acerca de f en una tabla.
x |
- Inf
|
-1 | 1 |
+ Inf
| |
f (x) | + | 0
x-intercepta |
-- | AV | + |
En el cuadro anterior significa VA
asíntota vertical.
Para dibujar la gráfica de f, se comienza
por esbozar el X e intercepta y y las asíntotas verticales y horizontales en las
líneas rotas. Véase el croquis.

Ahora empezar a dibujar la gráfica de f a
partir de la izquierda.
En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es
positiva por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en
cuenta el hecho de que y = 1 es una asíntota horizontal: la gráfica de f está
cerca de la línea de la izquierda. Véase el croquis.

Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo
tanto, la gráfica de f está por debajo del eje x. (0, -1 intersección) es ay y x
= 1 es una asíntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x)
Difuntos sin límite porque f (x) <0 en (-1, 1). Véase el croquis.

Para x> 1, f (x)> 0 por lo tanto,
el gráfico está por encima del eje x. Cuando x
se aproxima a 1 por la derecha, la gráfica de f aumenta sin límite (f (x)>
0). También a medida que aumenta x, la gráfica
de f enfoques y = 1, la asíntota horizontal. Véase el croquis.

Ahora ponemos todas las "piezas" de la
gráfica de f en conjunto para obtener la gráfica de f.

Dibuja la gráfica de la función

Lo primero es hacer la división:

Luego:

La hipérbola que tengo que representar es la misma que


- La función
tiene una asíntota vertical en x=2, aunque existe f(2).
f(x), en x=1 presenta una asíntota vertical, ya que la función se aproxima cada vez más a la recta vertical x=1 cuando x tiende a 1.
.


El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0,
se desplaza hacia abajo a unidades.







El centro de la hipérbola es: (-1, 3)


El centro de la hipérbola es: (-3, 0)