domingo, 31 de marzo de 2013

Bloque 6

Función racional

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

$y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)}$ $y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4}$

Propiedades

Toda función racional es de clase $C^\infty$ en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Integración de funciones racionales

Dada una función racional:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$

Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$

Si $\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

$\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}$

Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f_i(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma $\scriptstyle F_i(x)$ :

$\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}$

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la intergración.

Asintontas.

Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).

Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.

En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.

Se distinguen tres tipos:

Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = c^te.

Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = c^te.

Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.

Nota: c^te=constante.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

Los ejes son las asíntotas.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

EJERCICIOS:

Dejar

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales, excepto 3, desde el 3 de cero hace que el denominador y la división por cero no está permitido en las matemáticas. Sin embargo, podemos tratar de averiguar cómo la gráfica de f se comporta cerca de 3.

Vamos a evaluar la función f en los valores de x cerca de 3 tal que x <3. Los valores se muestran en la tabla siguiente:

x	1	2	2,5	2,8	2,9	2,99	2,999	2,99999
f (x)	-1	-2	-4	-10	-20	-200	-2000	-2 * 10 ⁵

Veamos ahora evaluar f en los valores de x cerca de 3 tal que x> 3.

x	5	4	3,5	3,2	3,1	3,01	3,001	3,00001
f (x)	1	2.	4	10	20	200	2000	2 * 10 ⁵

La gráfica de f se muestra a continuación.

Notas

1 - Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin límite.

2 - Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin límite.

Decimos que la recta x = 3, línea quebrada, es la asíntota vertical de la gráfica de f.

En general, la línea x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f si f (x) aumenta o disminuye sin límite cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda. Como se simboliza por escrito como:

Horizontal asíntotas

Dejar

1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).

x	1	10	10 ³	10 ⁶
f (x)	3	2.1	2,001	2,000001

2 - Sea x disminución y encontrar los valores de f (x).

x	-1	-10	-10 ³	-10 ⁶
f (x)	1	1,9	1,999	1,999999

Como | x | aumenta, el numerador está dominado por el término 2x y el numerador sólo tiene un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. Véase el comportamiento gráfico de abajo.

En general, la recta y = b es una asíntota horizontal para la gráfica de f si f (x) se aproxima a una constante b como x aumenta o disminuye sin límite.

Sea f una función racional definida por

a - Encontrar el dominio de f.

Encuentra la x , y intercepta de la gráfica de f.

c - Encuentre las asíntotas vertical y horizontal para la gráfica de f si los hay.

d - Utiliza tus respuestas a las partes a, b y c por encima de para trazar la gráfica de la función f.

Respuesta a la Ejemplo 1

a - El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto x = 1, ya que este valor de x cero hace que el denominador.

b - La x intercepte se encuentra por la solución de f (x) = 0 ó x +1 = 0. x La intersección está en el punto (-1, 0).

La intersección está en el punto (0, f (0)) = (0, -1).

c - La asíntota vertical está dada por el cero en el denominador x = 1.

El grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el teorema anterior, la asíntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1

e - Aunque las partes a, b y c dan información importante sobre la gráfica de f, todavía tenemos que construir una tabla de señal para la función f con el fin de ser capaz de dibujar con facilidad.

El signo de f (x) los cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la tabla de signo, se procede como en la solución de las desigualdades racionales. Los ceros del numerador y el denominador que son -1 y 1 divide la línea número real en 3 intervalos:

(- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito).

Hemos seleccionado un valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f (x).

En (- infinito, -1), -2 seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0.

En (-1, 1), 0 seleccionar y encontrar f (0) = -1 <0.

En (1, + infinito), 2 seleccionar y encontrar f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0.

Vamos a poner toda la información acerca de f en una tabla.

x	- Inf	-1		1	+ Inf
f (x)	+	0 x-intercepta	--	AV	+

En el cuadro anterior significa VA asíntota vertical.

Para dibujar la gráfica de f, se comienza por esbozar el X e intercepta y y las asíntotas verticales y horizontales en las líneas rotas. Véase el croquis.

Ahora empezar a dibujar la gráfica de f a partir de la izquierda.

En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es positiva por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en cuenta el hecho de que y = 1 es una asíntota horizontal: la gráfica de f está cerca de la línea de la izquierda. Véase el croquis.

Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo tanto, la gráfica de f está por debajo del eje x. (0, -1 intersección) es ay y x = 1 es una asíntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x) Difuntos sin límite porque f (x) <0 en (-1, 1). Véase el croquis.

Para x> 1, f (x)> 0 por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, la gráfica de f aumenta sin límite (f (x)> 0). También a medida que aumenta x, la gráfica de f enfoques y = 1, la asíntota horizontal. Véase el croquis.

Ahora ponemos todas las "piezas" de la gráfica de f en conjunto para obtener la gráfica de f.

Dibuja la gráfica de la función

Lo primero es hacer la división:

Luego:

La hipérbola que tengo que representar es la misma que

desplazada horizontalmente 3 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba:

La función $f(x)=\left\{\frac{1}{x-2}\;\;\;si\;x<2\\x-1\;\;\;si\;x\ge2$ tiene una asíntota vertical en x=2, aunque existe f(2).

f(x), en x=1 presenta una asíntota vertical, ya que la función se aproxima cada vez más a la recta vertical x=1 cuando x tiende a 1.

El centro de la hipérbola es: (0, 3)

Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.

El centro de la hipérbola es: (-1, 3)

El centro de la hipérbola es: (-3, 0)

sábado, 30 de marzo de 2013

Bloque 3

FUNCIÓN POLINOMIAL DE GRADO CERO

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Definición Si una función f está definida por 
 $f (x) = a n X n + a n 1 - 1 X n - 1 + a n - 2 X n - 2 + ... + a 1 + a 0$  donde  $a 0, a 1,..., a n$  son números reales 
y n es un entero no negativo. 
Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n.

La gráfica de una función polinomial de grado 0, que es de la forma f(x) = a

y= 8, y = 4.2, y= -3.6,

y = –3
es una recta horizontal que cruza al eje de las y en (0, –3).

FUNCIÓN LINEAL

Función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

$f(x) = m x + b \,$

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

$f(x) = m x \;$

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

$f(x) = m x + b \;$

cuando b es distinto de cero.

Grafique la ecuación x + 2y = 7.
Puede encontrar dos soluciones, correspondientes a la intercepción en x y a la intercepción en y de la gráfica, colocando primero x = 0 y luego y = 0.
Cuando x = 0, obtenemos:
0 + 2y = 7
y = 3.5
Cuando y = 0, obtenemos:
x + 2(0) = 7
x = 7
Así los dos puntos son (0, 3.5) y (7, 0).
Grafique estos dos puntos y dibuje la recta que los une.

Grafique la recta y = 3x + 1.
De la ecuación, sabemos que la intercepción en y es 1, el punto (0, 1) y la pendiente es 3. Grafique el punto (0, 1) y desde ahí suba 3 unidades y luego a la derecha 1 unidad y grafique un segundo punto. Dibuje la recta que contiene ambos puntos.

Las rectas horizontales y verticales tienen ecuaciones de primer grado sencillas.

Recta horizontal: y = 3
Recta vertical: x = –2

El precio de una television es de $200.00 al contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo de $10.00.
a) ¿Cuánto debe pagarse si se compra al contado o en plazos de 1,2,3,4,5 ó 6 meses?
b) Tabula y construye la gráfica.
c) Anota la expresión algebraica que determina la regla de correspondencia de la
función.
RESULTADO
a) Al comprarlo en abonos se tendrá que pagar:

A un mes 200 + 10 ( 1 ) = 210 dos meses 200 + 10 ( 2 ) = 220 tres meses 200 + 10 ( 3 ) = 230 cuatro meses 200 + 10 ( 4 ) = 240 cinco meses 200 + 10 ( 5 ) = 250 seis meses 200 + 10 ( 6 ) = 260

b ) Los datos anteriores nos dan la tabla y la gráfica siguiente:

x	y = f (x)

0	200
1	210
2	220
3	230
4	240
5	250
6	260

Gráfica

c) Por lo tanto, la cantidad que debe pagarse en un plazo de x meses es: f (x) = 200 +10x

la cual es la expresión algebraica que determina esta función.

maria pide prestado a Inés $500.00 Inés le dice que le da seis meses de plazo para pagarle, cobrándole $10.00 de interés por cada mes. a) ¿Cuánto tendrá que pagar a Patricia si le paga a Inés el mismo día o en 1,2,3,4,5 ó 6
meses?
b) Tabula y construye la gráfica.
c) Encuentra la expresión algebraica que determine la función que describe al problema. SOLUCIÓN:
a) Tendremos que designar una incógnita que represente el número de meses, que en
nuestro ejemplo será x.
Entonces: Para cero meses, Patricia pagará $500.00 + 10(0) = $500.
Para un mes, $500.00 + 10(1) = $510.
Para dos meses, $500.00 + 10(2) = $520.
Para tres meses, $500.00 + 10(3) = $530.
¿Cuánto deberá pagar los meses restantes del plazo?.
b) Si tabulas los datos anteriores tendrás la siguiente tabla:

x	y

0	500
1	510
2	520
3	530
4	540
5	550
6	560

Por lo tanto, la gráfica es:

c) Con base en la proposición del inciso a) podemos establecer la expresión solicitada, que es:

f (x) = 10x + 500

FUNCIÓN CUADRATICA

Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales $f(x) = 0 \$ . Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: $x_1$ y $x_2$ , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como $\Delta = b^2 - 4 a c \$ .

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

$\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}$ .

Una solución real doble si el discriminante es cero:

$-\frac{b}{2a} . \,\!$

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

$\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},$

Forma desarrollada

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

con $a \neq 0$ .

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,$

siendo a el coeficiente principal de la función, y $x_1$ y $x_2$ las raíces de $f(x)$ . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces $x_1 = x_2$ por lo que la factorización adquiere la forma:

$f(x) = a(x - x_1)^2 \,$

En este caso a $x_1$ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

EJERCICIOS:

El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por.

P (x) = 5000 + 1000x - 5x ²

donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad.

Encuentre la cantidad, x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio.
Encuentra el máximo beneficio Pmax.

Solución del Problema 1:

P Función que le da el beneficio es una función cuadrática con el coeficiente líder de -5 =. Esta función (sin fines de lucro) tiene un valor máximo en x = h = -b/2a
x = H = -1000 / 2 (-5) = 100
La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en publicidad, está dada por el valor máximo de la función P
k = c - b ² / 4a
La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en la publicidad, también está dada por P (h = 100)
P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) ² = 55000.
Cuando la empresa gasta 100 mil dólares en publicidad, el beneficio es máximo y es igual a 55.000 dólares.
Abajo se muestra la gráfica de P (x), observe el punto máximo, el vértice, en (100, 55000).

La parábola "básica", y = x², se ve así:

Encuentre el vértice de la parábola.
y = 3x² + 12x – 12

Aquí, a = 3 y b = 12. Así, la coordenada en x del vértice es:

Sustituyendo en la ecuación original para obtener la coordenada en y, obtenemos:

y = 3(–2)² + 12(–2) – 12
= –24
Así, el vértice de la parábola está en (–2, –24).

El eje de simetría de una parábola es la recta vertical a través del vértice. Para una parábola en la forma estándar, y = ax² + bx + c, el eje de simetría tiene la ecuación

Dese cuenta que –b/2a también es la coordenada en x del vértice de la parábola.

Ejemplo:

Encuentre el eje de simetría.
y = 2x² + x – 1

Aquí, a = 2 y b = 1. Así, el eje de simetría es la recta vertical

Considera la función f(x) = x² - 4

Muestra que las intersecciones con el eje x en -2 y en 2 son las raíces o soluciones de f(x) = x² - 4, de manera que f(-2) = (-2)² - 4 = 0 y f(2) = (2)² - 4 = 0.

Otro ejemplo que podemos mencionar es en f(x) = x²+ 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) donde x = -3 y x = 1 son las soluciones o raíces.

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x² cuya gráfica es:

x	-3	-2	-1	-0'5	0	0'5	1	2	3
f(x) = x²	9	4	1	0'25	0	0'25	1	4	9

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) = x² -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:

Dada la parábola y = x² - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la f:

a. Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir, y = 3'5 ² - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).
b. Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.
c. El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 0² - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).
d. D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:
, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).
e. Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x² - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).
f. Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 2² - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).
g. Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.
Como x = 5, entonces y = 5² - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).
h. Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola , cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).

Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola

y = x²- x + 1 .

a. A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 0²- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b. B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x²- x + 1; 0 = x²- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c. La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)²- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).

d. Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

y = 2²-2+1=3. C = (2,3).

Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax²+ bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.

Obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax² + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .

Igualando:

a x² + b x + c = c → a x² + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

Dibuja la gráfica de y = 4x² + 4x + 1.

Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.

Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)² + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0).

Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha: