MATEMATICAS 4°: Bloque 3

FUNCIÓN POLINOMIAL DE GRADO CERO

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Definición Si una función f está definida por 
 $f (x) = a n X n + a n 1 - 1 X n - 1 + a n - 2 X n - 2 + ... + a 1 + a 0$  donde  $a 0, a 1,..., a n$  son números reales 
y n es un entero no negativo. 
Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n.

La gráfica de una función polinomial de grado 0, que es de la forma f(x) = a

y= 8, y = 4.2, y= -3.6,

y = –3
es una recta horizontal que cruza al eje de las y en (0, –3).

FUNCIÓN LINEAL

Función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

$f(x) = m x + b \,$

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

$f(x) = m x \;$

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

$f(x) = m x + b \;$

cuando b es distinto de cero.

Grafique la ecuación x + 2y = 7.
Puede encontrar dos soluciones, correspondientes a la intercepción en x y a la intercepción en y de la gráfica, colocando primero x = 0 y luego y = 0.
Cuando x = 0, obtenemos:
0 + 2y = 7
y = 3.5
Cuando y = 0, obtenemos:
x + 2(0) = 7
x = 7
Así los dos puntos son (0, 3.5) y (7, 0).
Grafique estos dos puntos y dibuje la recta que los une.

Grafique la recta y = 3x + 1.
De la ecuación, sabemos que la intercepción en y es 1, el punto (0, 1) y la pendiente es 3. Grafique el punto (0, 1) y desde ahí suba 3 unidades y luego a la derecha 1 unidad y grafique un segundo punto. Dibuje la recta que contiene ambos puntos.

Las rectas horizontales y verticales tienen ecuaciones de primer grado sencillas.

Recta horizontal: y = 3
Recta vertical: x = –2

El precio de una television es de $200.00 al contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo de $10.00.
a) ¿Cuánto debe pagarse si se compra al contado o en plazos de 1,2,3,4,5 ó 6 meses?
b) Tabula y construye la gráfica.
c) Anota la expresión algebraica que determina la regla de correspondencia de la
función.
RESULTADO
a) Al comprarlo en abonos se tendrá que pagar:

A un mes 200 + 10 ( 1 ) = 210 dos meses 200 + 10 ( 2 ) = 220 tres meses 200 + 10 ( 3 ) = 230 cuatro meses 200 + 10 ( 4 ) = 240 cinco meses 200 + 10 ( 5 ) = 250 seis meses 200 + 10 ( 6 ) = 260

b ) Los datos anteriores nos dan la tabla y la gráfica siguiente:

x	y = f (x)

0	200
1	210
2	220
3	230
4	240
5	250
6	260

Gráfica

c) Por lo tanto, la cantidad que debe pagarse en un plazo de x meses es: f (x) = 200 +10x

la cual es la expresión algebraica que determina esta función.

maria pide prestado a Inés $500.00 Inés le dice que le da seis meses de plazo para pagarle, cobrándole $10.00 de interés por cada mes. a) ¿Cuánto tendrá que pagar a Patricia si le paga a Inés el mismo día o en 1,2,3,4,5 ó 6
meses?
b) Tabula y construye la gráfica.
c) Encuentra la expresión algebraica que determine la función que describe al problema. SOLUCIÓN:
a) Tendremos que designar una incógnita que represente el número de meses, que en
nuestro ejemplo será x.
Entonces: Para cero meses, Patricia pagará $500.00 + 10(0) = $500.
Para un mes, $500.00 + 10(1) = $510.
Para dos meses, $500.00 + 10(2) = $520.
Para tres meses, $500.00 + 10(3) = $530.
¿Cuánto deberá pagar los meses restantes del plazo?.
b) Si tabulas los datos anteriores tendrás la siguiente tabla:

x	y

0	500
1	510
2	520
3	530
4	540
5	550
6	560

Por lo tanto, la gráfica es:

c) Con base en la proposición del inciso a) podemos establecer la expresión solicitada, que es:

f (x) = 10x + 500

FUNCIÓN CUADRATICA

Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales $f(x) = 0 \$ . Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: $x_1$ y $x_2$ , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como $\Delta = b^2 - 4 a c \$ .

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

$\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}$ .

Una solución real doble si el discriminante es cero:

$-\frac{b}{2a} . \,\!$

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

$\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},$

Forma desarrollada

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

con $a \neq 0$ .

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,$

siendo a el coeficiente principal de la función, y $x_1$ y $x_2$ las raíces de $f(x)$ . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces $x_1 = x_2$ por lo que la factorización adquiere la forma:

$f(x) = a(x - x_1)^2 \,$

En este caso a $x_1$ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

EJERCICIOS:

El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por.

P (x) = 5000 + 1000x - 5x ²

donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad.

Encuentre la cantidad, x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio.
Encuentra el máximo beneficio Pmax.

Solución del Problema 1:

P Función que le da el beneficio es una función cuadrática con el coeficiente líder de -5 =. Esta función (sin fines de lucro) tiene un valor máximo en x = h = -b/2a
x = H = -1000 / 2 (-5) = 100
La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en publicidad, está dada por el valor máximo de la función P
k = c - b ² / 4a
La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en la publicidad, también está dada por P (h = 100)
P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) ² = 55000.
Cuando la empresa gasta 100 mil dólares en publicidad, el beneficio es máximo y es igual a 55.000 dólares.
Abajo se muestra la gráfica de P (x), observe el punto máximo, el vértice, en (100, 55000).

La parábola "básica", y = x², se ve así:

Encuentre el vértice de la parábola.
y = 3x² + 12x – 12

Aquí, a = 3 y b = 12. Así, la coordenada en x del vértice es:

Sustituyendo en la ecuación original para obtener la coordenada en y, obtenemos:

y = 3(–2)² + 12(–2) – 12
= –24
Así, el vértice de la parábola está en (–2, –24).

El eje de simetría de una parábola es la recta vertical a través del vértice. Para una parábola en la forma estándar, y = ax² + bx + c, el eje de simetría tiene la ecuación

Dese cuenta que –b/2a también es la coordenada en x del vértice de la parábola.

Ejemplo:

Encuentre el eje de simetría.
y = 2x² + x – 1

Aquí, a = 2 y b = 1. Así, el eje de simetría es la recta vertical

Considera la función f(x) = x² - 4

Muestra que las intersecciones con el eje x en -2 y en 2 son las raíces o soluciones de f(x) = x² - 4, de manera que f(-2) = (-2)² - 4 = 0 y f(2) = (2)² - 4 = 0.

Otro ejemplo que podemos mencionar es en f(x) = x²+ 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) donde x = -3 y x = 1 son las soluciones o raíces.

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x² cuya gráfica es:

x	-3	-2	-1	-0'5	0	0'5	1	2	3
f(x) = x²	9	4	1	0'25	0	0'25	1	4	9

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) = x² -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:

Dada la parábola y = x² - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la f:

a. Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir, y = 3'5 ² - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).
b. Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.
c. El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 0² - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).
d. D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:
, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).
e. Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x² - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).
f. Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 2² - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).
g. Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.
Como x = 5, entonces y = 5² - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).
h. Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola , cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).

Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola

y = x²- x + 1 .

a. A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 0²- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b. B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x²- x + 1; 0 = x²- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c. La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)²- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).

d. Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

y = 2²-2+1=3. C = (2,3).

Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax²+ bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.

Obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax² + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .

Igualando:

a x² + b x + c = c → a x² + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

Dibuja la gráfica de y = 4x² + 4x + 1.

Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.

Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)² + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0).

Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha: