domingo, 31 de marzo de 2013

Bloque 6

Función racional

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}
donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.




 
RationalDegree3byXedi.gifRationalDegree2byXedi.gif
 y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)}  y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4}


 

Propiedades
 
  • Toda función racional es de clase C^\infty en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
  • Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

 

 

 Integración de funciones racionales

 

Dada una función racional:
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]
Si el denominador es un polinómico mónico \scriptstyle Q(x) con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:
\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k}
(x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\
k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}
Si \scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q) entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:
\begin{matrix}
f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\
f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\
f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}
Por lo que la integral de la función \scriptstyle f_i(x) es una combinación lineal de funciones de la forma \scriptstyle F_i(x) :
\begin{matrix}
F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\
F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) =
\cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}}
+ \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\
F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) &
F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}
Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la intergración.
 
 
Asintontas.
Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).
Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.
Se distinguen tres tipos:
 
 
  • Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = cte.
  • Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = cte.
  • Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.
Nota: cte=constante.
 
Las ramas de la función tienen asíntotas.
Las ramas de la función tienen asíntotas.
Los ejes son las asíntotas.
Los ejes son las asíntotas.
Las ramas de la función tienen asíntotas.
Las ramas de la función tienen asíntotas.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS:
 
 
Dejar
f (x) = -3ln (x - 4)
El dominio de f es el conjunto de todos los números reales, excepto 3, desde el 3 de cero hace que el denominador y la división por cero no está permitido en las matemáticas. Sin embargo, podemos tratar de averiguar cómo la gráfica de f se comporta cerca de 3.
Vamos a evaluar la función f en los valores de x cerca de 3 tal que x <3. Los valores se muestran en la tabla siguiente:
x 1 2 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 2,99999
f (x) -1 -2 -4 -10 -20 -200 -2000 -2 * 10 5
Veamos ahora evaluar f en los valores de x cerca de 3 tal que x> 3.
x 5 4 3,5 3,2 3,1 3,01 3,001 3,00001
f (x) 1 2. 4 10 20 200 2000 2 * 10 5
La gráfica de f se muestra a continuación.
asíntota vertical
Notas
1 - Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin límite.
2 - Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin límite.
Decimos que la recta x = 3, línea quebrada, es la asíntota vertical de la gráfica de f.
En general, la línea x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f si f (x) aumenta o disminuye sin límite cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda. Como se simboliza por escrito como:
f (x) se aproxima aumenta o disminuye sin límite sin límite cuando x tiende a 3
Horizontal asíntotas
Dejar
f (x) = (2x +1) / x
1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).
x 1 10 10 3 10 6
f (x) 3 2.1 2,001 2,000001
2 - Sea x disminución y encontrar los valores de f (x).
x -1 -10 -10 3 -10 6
f (x) 1 1,9 1,999 1,999999
Como | x | aumenta, el numerador está dominado por el término 2x y el numerador sólo tiene un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. Véase el comportamiento gráfico de abajo.
asíntotas horizontales
En general, la recta y = b es una asíntota horizontal para la gráfica de f si f (x) se aproxima a una constante b como x aumenta o disminuye sin límite.



Sea f una función racional definida por
f (x) = (x +1) / (x-1)
a - Encontrar el dominio de f.
Encuentra la x , y intercepta de la gráfica de f.
c - Encuentre las asíntotas vertical y horizontal para la gráfica de f si los hay.
d - Utiliza tus respuestas a las partes a, b y c por encima de para trazar la gráfica de la función f.
Respuesta a la Ejemplo 1
a - El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto x = 1, ya que este valor de x cero hace que el denominador.
b - La x intercepte se encuentra por la solución de f (x) = 0 ó x +1 = 0. x La intersección está en el punto (-1, 0).
La intersección está en el punto (0, f (0)) = (0, -1).
c - La asíntota vertical está dada por el cero en el denominador x = 1.
El grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el teorema anterior, la asíntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1
e - Aunque las partes a, b y c dan información importante sobre la gráfica de f, todavía tenemos que construir una tabla de señal para la función f con el fin de ser capaz de dibujar con facilidad.
El signo de f (x) los cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la tabla de signo, se procede como en la solución de las desigualdades racionales. Los ceros del numerador y el denominador que son -1 y 1 divide la línea número real en 3 intervalos:
(- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito).
Hemos seleccionado un valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f (x).
En (- infinito, -1), -2 seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0.
En (-1, 1), 0 seleccionar y encontrar f (0) = -1 <0.
En (1, + infinito), 2 seleccionar y encontrar f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0.
Vamos a poner toda la información acerca de f en una tabla.
x
- Inf
-1 1
+ Inf
f (x) + 0 x-intercepta
-- AV +
En el cuadro anterior significa VA asíntota vertical.
Para dibujar la gráfica de f, se comienza por esbozar el X e intercepta y y las asíntotas verticales y horizontales en las líneas rotas. Véase el croquis.
asíntotas verticales y horizontales
Ahora empezar a dibujar la gráfica de f a partir de la izquierda.
En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es positiva por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en cuenta el hecho de que y = 1 es una asíntota horizontal: la gráfica de f está cerca de la línea de la izquierda. Véase el croquis.
gráfica de f, parte izquierda
Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo tanto, la gráfica de f está por debajo del eje x. (0, -1 intersección) es ay y x = 1 es una asíntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x) Difuntos sin límite porque f (x) <0 en (-1, 1). Véase el croquis.
gráfica de f, parte media
Para x> 1, f (x)> 0 por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, la gráfica de f aumenta sin límite (f (x)> 0). También a medida que aumenta x, la gráfica de f enfoques y = 1, la asíntota horizontal. Véase el croquis.
gráfica de f, parte de la derecha
Ahora ponemos todas las "piezas" de la gráfica de f en conjunto para obtener la gráfica de f.
gráfica de f
 
 






Dibuja la gráfica de la función




Lo primero es hacer la división:

Luego:

La hipérbola que tengo que representar es la misma que desplazada horizontalmente 3 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba:







  • La función tiene una asíntota vertical en x=2, aunque existe f(2).
  •  
f(x), en x=1 presenta una asíntota vertical, ya que la función se aproxima cada vez más a la recta vertical x=1 cuando x tiende a 1.
 
 
Asíntota Vertical
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






.
gráfica
función





El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0, Hipérbola se desplaza hacia abajo a unidades.
gráfica
gráfica
 
 
función
función
función
gráfica
El centro de la hipérbola es: (-1, 3)
 
 
gráfica
función
El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
 

  

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