Función racional

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

$y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)}$ $y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4}$

Propiedades

Toda función racional es de clase $C^\infty$ en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Integración de funciones racionales

Dada una función racional:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$

Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$

Si $\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

$\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}$

Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f_i(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma $\scriptstyle F_i(x)$ :

$\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}$

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la intergración.

Asintontas.

Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).

Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.

En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.

Se distinguen tres tipos:

Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = c^te.

Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = c^te.

Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.

Nota: c^te=constante.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

Los ejes son las asíntotas.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

EJERCICIOS:

Dejar

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales, excepto 3, desde el 3 de cero hace que el denominador y la división por cero no está permitido en las matemáticas. Sin embargo, podemos tratar de averiguar cómo la gráfica de f se comporta cerca de 3.

Vamos a evaluar la función f en los valores de x cerca de 3 tal que x <3. Los valores se muestran en la tabla siguiente:

x	1	2	2,5	2,8	2,9	2,99	2,999	2,99999
f (x)	-1	-2	-4	-10	-20	-200	-2000	-2 * 10 ⁵

Veamos ahora evaluar f en los valores de x cerca de 3 tal que x> 3.

x	5	4	3,5	3,2	3,1	3,01	3,001	3,00001
f (x)	1	2.	4	10	20	200	2000	2 * 10 ⁵

La gráfica de f se muestra a continuación.

Notas

1 - Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin límite.

2 - Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin límite.

Decimos que la recta x = 3, línea quebrada, es la asíntota vertical de la gráfica de f.

En general, la línea x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f si f (x) aumenta o disminuye sin límite cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda. Como se simboliza por escrito como:

Horizontal asíntotas

Dejar

1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).

x	1	10	10 ³	10 ⁶
f (x)	3	2.1	2,001	2,000001

2 - Sea x disminución y encontrar los valores de f (x).

x	-1	-10	-10 ³	-10 ⁶
f (x)	1	1,9	1,999	1,999999

Como | x | aumenta, el numerador está dominado por el término 2x y el numerador sólo tiene un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. Véase el comportamiento gráfico de abajo.

En general, la recta y = b es una asíntota horizontal para la gráfica de f si f (x) se aproxima a una constante b como x aumenta o disminuye sin límite.

Sea f una función racional definida por

a - Encontrar el dominio de f.

Encuentra la x , y intercepta de la gráfica de f.

c - Encuentre las asíntotas vertical y horizontal para la gráfica de f si los hay.

d - Utiliza tus respuestas a las partes a, b y c por encima de para trazar la gráfica de la función f.

Respuesta a la Ejemplo 1

a - El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto x = 1, ya que este valor de x cero hace que el denominador.

b - La x intercepte se encuentra por la solución de f (x) = 0 ó x +1 = 0. x La intersección está en el punto (-1, 0).

La intersección está en el punto (0, f (0)) = (0, -1).

c - La asíntota vertical está dada por el cero en el denominador x = 1.

El grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el teorema anterior, la asíntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1

e - Aunque las partes a, b y c dan información importante sobre la gráfica de f, todavía tenemos que construir una tabla de señal para la función f con el fin de ser capaz de dibujar con facilidad.

El signo de f (x) los cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la tabla de signo, se procede como en la solución de las desigualdades racionales. Los ceros del numerador y el denominador que son -1 y 1 divide la línea número real en 3 intervalos:

(- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito).

Hemos seleccionado un valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f (x).

En (- infinito, -1), -2 seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0.

En (-1, 1), 0 seleccionar y encontrar f (0) = -1 <0.

En (1, + infinito), 2 seleccionar y encontrar f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0.

Vamos a poner toda la información acerca de f en una tabla.

x	- Inf	-1		1	+ Inf
f (x)	+	0 x-intercepta	--	AV	+

En el cuadro anterior significa VA asíntota vertical.

Para dibujar la gráfica de f, se comienza por esbozar el X e intercepta y y las asíntotas verticales y horizontales en las líneas rotas. Véase el croquis.

Ahora empezar a dibujar la gráfica de f a partir de la izquierda.

En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es positiva por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en cuenta el hecho de que y = 1 es una asíntota horizontal: la gráfica de f está cerca de la línea de la izquierda. Véase el croquis.

Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo tanto, la gráfica de f está por debajo del eje x. (0, -1 intersección) es ay y x = 1 es una asíntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x) Difuntos sin límite porque f (x) <0 en (-1, 1). Véase el croquis.

Para x> 1, f (x)> 0 por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, la gráfica de f aumenta sin límite (f (x)> 0). También a medida que aumenta x, la gráfica de f enfoques y = 1, la asíntota horizontal. Véase el croquis.